浦东新区2016学年度第二学期质量抽题答案解析

以下是浦东新区2016学年度第二学期质量抽题答案解析，同学们通过做题对照答案和解析，检测对于高中数学知识的掌握情况，再针对性去复习。
高三数学试卷                     
注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.
2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1、已知集合，集合，则=____________.
2、若直线的参数方程为，则直线在轴上的截距是___________.
3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为__________.
4、抛物线的焦点到准线的距离为______2_______.
5、已知关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则=___5_______.
6、若三个数的方差为，则的方差为  9.
7、已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各
向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是___0.98________.
8、函数的单调递减区间是_______________.
9、已知等差数列的公差为2，前项和为，则=_________.
10、已知定义在上的函数满足：①；②；③在
上的表达式为，则函数与函数
的图象在区间上的交点的个数为6.
11、已知各项均为正数的数列满足：，且,
则首项所有可能取值中的比较大值为  16     .
12、已知平面上三个不同的单位向量满足，若为平面内的任意单位向量，则的比较大值为_________________.
二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
13、若复数满足，则复数在复平面上所对应的图形是  （  D   ）
A、椭圆；        B、双曲线；        C、直线；        D、线段.
14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示
给出下列4个平面图：
（1）                                 （2）
（3）                                   （4）
则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是               （   C   ）
A、(1)(3)(4)；      B、(2)(4)(3)；      C、(1)(3)(2)；     D、(2)(4)(1).
15、已知，则=                              （   C   ）
A、2；            B、2或；       C、2或0；       D、或0.
16、已知等比数列满足，，，则的取值范围是                                              （  D   ）
A、；        B、；       C、；      D、.
三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，
且球O分别与轴的正半轴交于三点.
已知球面上一点.
（1）求两点在球O上的球面距离；
（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．
解：（1）由题意：
则，……………………………………………………2分
所以，即为等边三角形，所以， …………4分
则                          …………………………6分
（2）设直线CD与平面ABC所成角为，
易得平面的一个法向量，         …………………………11分
则，      …………………………13分
即直线CD与平面ABC所成角 …………………………14分
18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某地计划在一处海滩建造一个养殖场.
（1） 如图，射线为海岸线，，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个的养殖场，问如何选取点，才能使养殖场的面积比较大，并求其比较大面积.
（2）如图，直线为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.
方案一：围成三角形（点在直线上），使三角形面积比较大，设其为；
方案二：围成弓形（点在直线上，是优弧所在圆的圆心且），其面积为；
试求出的比较大值和（均到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.
解：（1）设
由余弦定理得，…4分
则，（平方千米）
即选取时养殖场的面积比较大. …………6分
（2）方案一：围成三角形
设，由，
当且仅当时取等号.
所以，（平方千米），
当且仅当时取等号.……………9分
方案二：围成弓形
设弓形中扇形所在圆的半径为，而扇形圆心角为、弧长为1千米，
故.                                           …………10分
于是                                 …………11分
（平方千米）                   …………13分
即，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好.    ……………14分
19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知双曲线，其右顶点为.
（1）求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
（2）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点
到直线的距离均为，求的值.
解：（1）由题意，，渐近线方程：，即……………2分
则半径，                          ……………4分
所以圆方程为：……………6分
（2）若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，则其中一点必定是与
直线平行的直线与双曲线其中一支的切点         ……………8分
设直线与双曲线C相切，并且与直线平行，则，即有
，消去，得到   ……………10分
则，解得，所以…………12分
又是与之间的距离，所以或者
……………14分
20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
若数列对任意的，都有，且，
则称数列为“级创新数列”.
（1）已知数列满足，且，试判断数列是否为“2级创新数列”，并说明理由；
（2） 已知正数数列为“级创新数列”且，若，求数列的前项积；
（3）设是方程的两个实根（），令，在（2）的条件下，记数列的通项， 求证：，.
解：（1）由，∴，即，
……………………2分
且，                                 ………………………3分
∴是“2级创新数列”                       ………………………4分
（2）由正数数列是“级创新数列”，得，且
∴，                                 ………………………6分
∴是等比数列，且首项，公比；
∴；                          ………………………7分
由………………………9分
，∴……………………10分
（3）由，
；      ……………………12分
由是方程的两根，∴；……………………14分
∴
.…………………16分
21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于定义域为的函数，若函数是奇函数，则称为正弦奇函数.
已知是单调递增的正弦奇函数，其值域为，.
（1）已知是正弦奇函数，证明：“为方程的解”的充要条件是
“为方程的解”；
（2）若，求的值；
（3）证明：是奇函数.
证明：（1） 必要性：
为方程的解，即，故，
即为方程的解.…………………………………………………2分
充分性：
为方程的解，即，故，
，即为方程的解.  ………………………………4分
（2）因为，由单调递增，可知.  ……………………5分
由（1）可知，若函数是正弦奇函数，
则当为方程的解，必有为方程的解，
，即，
而，故，从而，
即；                                        ……………………7分
同理，故，
即；                                       …………………………9分
综上，.                                   …………………………10分
（3）的值域为且单调递增，故对任意，存在的使得.
…………11分
可设，下证.
当时，由（2）知,成立；      ………………………………12分
假设时成立，即，而由的单调性
知，知，
则当时，为方程的解，故为方程的解，
且由单调性知，故，得；
同理，故.     ……………………………………………14分
要证是奇函数，证：对任意，都有.
记，若，则，；
……………………………………………………15分
若，则
，，
而正弦函数在上单调递增，
故由得.
若，同理可证得.        …………………17分
综上，对任意，都有.故是奇函数.       ……………18分