欧拉公式,高中数学欧拉公式知识点

高中数学欧拉公式这块的知识点，学生知道的可能并不多，在数学历史上有很多公式都是欧拉发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。高中数学欧拉公式知识点主要分为以下五点，下面就有学大带您了解。
        （1）分式里的欧拉公式：
　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
　　当r=0,1时式子的值为0
　　当r=2时值为1
　　当r=3时值为a+b+c
　　（2）复变函数论里的欧拉公式：
　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
　　将公式里的x换成-x，得到：
　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
　　这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
　　e^i∏+1=0.
　　这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里比较令人着迷的一个公式，它将数学里比较重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
　　（3）三角形中的欧拉公式：
　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
　　d＾2=R＾2-2Rr
　　（4）拓扑学里的欧拉公式：
　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
　　X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
　　在多面体中的运用:
　　简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
　　V+F-E=2
　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
　　（5）初等数论里的欧拉公式：
　　欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
　　欧拉证明了下面这个式子：
　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有
　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
　　利用容斥原理可以证明它。
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