江苏省苏州市2017-2018学年高一下学期数学试题及答案

亲爱的同学，学期已经开始有一半了，现在就请走进数学世界，通过下面一些问题的解决来展示自己对数学的理解、亮出数学学习的风采吧。只要你认真答题不马虎，相信成功必将属于你！
江苏省苏州市2017-2018学年高一下学期数学试题及答案
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1.已知集合，，则          ．
2.一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的方差等于          ．
3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有          辆．
   
4.袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于          ．
5.设向量，，．若，则实数的值是          ．
6.如右图所示的算法流程图中，比较后的输出值为          ．
 
7.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知首要天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为          尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）
8.如图所示，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点，，，均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则          ．
 
9.已知角的终边上一点的坐标为，则的值为          ．
10.已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且角，，成等差数列，则的值为          ．
11.已知关于的方程在上有3个相异实根，则实数的取值范围是          ．
12.已知，，且，则的比较小值等于          ．
13.将关于的方程（）的所有正数解从小到大排列构成数列，其，，构成等比数列，则          ．
14.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是          ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知，.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
16.已知公差不为0的等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17.如图，在平面四边形中，，，.
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长度.
 
18.如图，长方形材料中，已知，.点为材料内部一点，于，于，且，. 现要在长方形材料中裁剪出四边形材料，满足，点、分别在边，上.
（1）设，试将四边形材料的面积表示为的函数，并指明的取值范围；
（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积比较小，并求出其比较小值.
 
 
19.已知函数.
（1）当，时，求满足的的值；
（2）若函数是定义在上的奇函数.
①存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；
②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的比较大值.
20.设数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：
对于任意，都有成立.
①求数列的通项公式；
②设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
 试卷答案
一、填空题
1.              2.             3.            4.           5.    
6.                7.            8.            9.         10.  
11.        12.            13.          14.    
二、解答题
15. 解：（1）由，，
得，
所以.
（2）因为，所以，
又，则，
所以，
因为，所以.
16. 解：（1）设等差数列的公差为，其中，
由，得，即，
由，得，即，
所以，
故.
（2）由（1）得，
则，
所以.
17. 解：（1）因为，所以，
即，
又因为，，所以，则，
所以.
（2）在中，由余弦定理得：
，
解得：，
在中，由正弦定理得：
，即，
所以，
在中，由余弦定理得：
，即 .
18. 解：（1）在直角中，因为，，
所以，
所以，
在直角中，因为，，
所以，
所以，
所以，.
（2）因为，
令，由，得，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，
此时，，，
答：当时，四边形材料的面积比较小，比较小值为.
19. 解：（1）因为，，所以，
化简得，解得（舍）或，
所以.
（2）因为是奇函数，所以，所以，
化简变形得：，
要使上式对任意的成立，则且，
解得：或，因为的定义域是，所以舍去，
所以，，所以.
①
对任意，，有：，
因为，所以，所以，
因此在上递增，
因为，所以，
即在时有解，
当时，，所以.
②因为，所以，
所以，
不等式恒成立，即，
令，，则在时恒成立，
因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立，
所以，则实数的比较大值为.
20. 解：（1）由，  ①
得， ②
由①-②得，即，
对①取得，，所以，所以为常数，
所以为等比数列，首项为1，公比为，即，.
（2）①由，可得对于任意有
， ③
则， ④
则， ⑤
由③-⑤得，
对③取得，也适合上式，
因此，.
②由（1）（2）可知，
则，
所以当时，，即，
当时，，即在且上单调递减，
故…，
假设存在三项，，成等差数列，其中，，，
由于…，可不妨设，则（*），
即，
因为，，且，则且，
由数列的单调性可知，，即，
因为，所以，
即，化简得，
又且，所以或，
当时，，即，由时，，此时，，不构成等差数列，不合题意，
当时，由题意或，即，又，代入（*）式得，
因为数列在且上单调递减，且，，所以，
综上所述，数列中存在三项，，或，，构成等差数列.